tag:blogger.com,1999:blog-35810705494928159382024-03-14T00:38:02.656-07:00Ecuaciones con 3 variablesSergio Cesarhttp://www.blogger.com/profile/16146547648431278464noreply@blogger.comBlogger1125tag:blogger.com,1999:blog-3581070549492815938.post-57257820576062182262010-11-10T13:45:00.000-08:002010-11-10T13:45:05.838-08:00Ecuaciones con 3 variables<div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 5pt; text-align: center;"><b><span style="color: #0d0d0d; font-family: "Times New Roman", "serif"; font-size: 20pt; mso-themecolor: text1; mso-themetint: 242;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;">Ecuaciones con 3 incógnitas</span></span></span></b></div><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 5pt; text-align: center;"><br />
</div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 5pt; text-align: justify;"><span style="color: #0d0d0d; font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES; mso-themecolor: text1; mso-themetint: 242;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;">Dado un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, a él están asociadas dos matrices: A matriz de coeficientes y A* matriz ampliada (se le añade a la matriz de coeficientes la columna de términos independientes). <br />
<br />
Para resolver el sistema hay varios métodos. </span></span></span></div><ul type="disc"><li class="MsoNormal" style="color: #0d0d0d; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 10pt; mso-list: l0 level1 lfo1; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; mso-themecolor: text1; mso-themetint: 242; tab-stops: list 36.0pt;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;">Método de Gauss: Tomamos las matriz ampliada asociada al sistema y hacemos las trasformaciones de filas necesarias para hacer la matriz de coeficientes triangular, a partir de ahí deducimos los valores de las variables. </span></span></span></li>
<li class="MsoNormal" style="color: #0d0d0d; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 10pt; mso-list: l0 level1 lfo1; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; mso-themecolor: text1; mso-themetint: 242; tab-stops: list 36.0pt;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="background-color: #f3f3f3; color: blue;">Matríz inversa: Si expresamos el sistema en forma matricial AX=B y A es inversible entonces </span><span style="mso-no-proof: yes;"><shapetype coordsize="21600,21600" filled="f" id="_x0000_t75" o:preferrelative="t" o:spt="75" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" stroked="f"><stroke joinstyle="miter"></stroke><formulas><f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"></f><f eqn="sum @0 1 0"></f><f eqn="sum 0 0 @1"></f><f eqn="prod @2 1 2"></f><f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"></f><f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"></f><f eqn="sum @0 0 1"></f><f eqn="prod @6 1 2"></f><f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"></f><f eqn="sum @8 21600 0"></f><f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"></f><f eqn="sum @10 21600 0"></f></formulas><path gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" o:extrusionok="f"></path><lock aspectratio="t" v:ext="edit"></lock></shapetype><shape alt="http://www.ematematicas.net/imagenes/sistres1.gif" id="Imagen_x0020_1" o:spid="_x0000_i1025" style="height: 15pt; mso-wrap-style: square; visibility: visible; width: 51.75pt;" type="#_x0000_t75"><imagedata o:title="sistres1" src="file:///C:\DOCUME~1\chaleng\CONFIG~1\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image001.gif"><span style="background-color: #f3f3f3; color: blue;"></span></imagedata></shape></span><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;">donde X es la matriz de variables A la de coeficientes y B la de términos independientes. Condición necesaria es que exista la inversa de A </span></span></span></li>
<li class="MsoNormal" style="color: #333333; line-height: normal; margin: 0cm 0cm 10pt; mso-list: l0 level1 lfo1; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; tab-stops: list 36.0pt;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;"><span style="color: #0d0d0d; font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES; mso-themecolor: text1; mso-themetint: 242;">Regla de Cramer:El valor de la variable i-ésima se obtiene del cociente C/D, donde C es el determinante de la matriz de coeficientes donde se cambia la columna i-ésima por la columna de términos independientes y D es el</span><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"> determinante de la matriz de coeficientes. </span></span></span></li>
</ul><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 10pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;"><b><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; font-size: 20pt; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES; mso-font-kerning: 18.0pt;">Ecuación de primer grado con 3 incógnitas</span></b><span style="color: #333333; font-family: "Times New Roman", "serif"; font-size: 20pt; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"></span></span></span></div><div class="MsoListParagraph" style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0pt 36pt; mso-add-space: auto; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-indent: -18pt;"><span style="font-family: Symbol; font-size: 10pt; mso-bidi-font-family: Symbol; mso-bidi-font-size: 11.0pt; mso-fareast-font-family: Symbol; mso-fareast-language: ES;"><span style="mso-list: Ignore;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;">·<span style="font: 7pt "Times New Roman";"> </span></span></span></span></span><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;">Me pueden explicar el procedimiento para sacar los valores x, y, z para que me de el resultado de cualquiera de las siguientes ecuaciones...<br />
<br />
3x-2y+3z=16<br />
x+3y-6z= -23<br />
5x+4y-2z= -9</span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 10pt 36pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif";"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;">toma la segunda ecuación, y has el despeje de tal forma que halla igualdad para x, te quedará así:<br />
<br />
<br />
x=-23-3y+6z<br />
<br />
Ahora, toma otra ecuación distinta a la del despeje...<br />
tomaré en este caso 3x-2y+3z=16 (por ser más sencilla que la última) y sustituyes x, el despeje de arriba...<br />
<br />
será...<br />
<br />
3(Aquí va X)-2y+3z=16<br />
3(-23-3y+6z)-2y+3z=16<br />
-69-9y+18z-2y+3z=16<br />
-11y+21z=85<br />
<br />
y tomamos la última (recuerda que tiene que ser distinta a la que tomaste como inicial para el despeje)<br />
<br />
5(-23-3y+6z)+4y-2z=-9<br />
-115-15y+30z+4y-2z=-9<br />
-11y+28z=106<br />
<br />
Ahora fijamos los dos resultados:<br />
<br />
-11y+21z=85<br />
-11y+28z=106<br />
___________<br />
<br />
multiplica por -1 el segundo y por 1 la primera...<br />
<br />
-11y+21z=85<br />
11y-28z=-106<br />
___________<br />
-7z=-21<br />
z=-21/-7=3<br />
z=3 <--- primer valor<br />
<br />
<br />
Ahora con las mismas dos ecuaciones anteriores encontraremos el valor de Y sustituyendo ya el valor de z obtenido... toma una, en este caso escogeré la primera...<br />
<br />
-11y+21(3)=85<br />
-11y+63=85<br />
-11y=85-63<br />
y=22/-11<br />
y=-2 <--- otro valor<br />
<br />
<br />
Ahora, vamonos desde la primera ecuacion que tomaste para despejar X y sustituyes los dos valores obtenidos...<br />
<br />
x+3(-2)-6(3)=-23<br />
x-6-18=-23<br />
x=-23+6+18<br />
x=1 <--- tercer valor.<br />
<br />
Ya tienes los valores ahora si hay que comprobar si estan bien, acuerdate de siempre comprobar. OJO<br />
<br />
Cómo vas a comprobar?<br />
<br />
De las 3 ecuaciones que estan en tu pregunta sustituyes los valores de x,y,z</span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 10pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto;"><br />
</div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 10pt; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: center;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif";"></span><b><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; font-size: 20pt; mso-bidi-font-style: italic; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;">Sistemas de ecuaciones con tres (o más) incógnitas</span></b></span></span></div><div align="center" class="MsoListParagraphCxSpLast" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 36pt; mso-add-space: auto; text-align: center;"><br />
</div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt; text-align: justify;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;"> Dos sistemas de ecuaciones lineales son <span style="mso-bidi-font-weight: bold;">equivalentes </span>si tienen el mismo conjunto de soluciones.</span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt; text-align: justify;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;">El método general de resolver sistemas de ecuaciones consiste en encontrar otro sistema <span style="mso-bidi-font-weight: bold;">equivalente </span>de más fácil resolución. </span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt; text-align: justify;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;"><i><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-bidi-font-weight: bold; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;">Definición</span></i><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-bidi-font-weight: bold; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;">.</span><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"> Se llaman <span style="mso-bidi-font-weight: bold;">transformaciones elementales</span> (o de equivalencia) a aquellas modificaciones de un sistema lineal que lo transforman en otro equivalente.</span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt; text-align: justify;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="background-color: #f3f3f3; color: blue;">Las siguientes transformaciones son elementales.</span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt; text-align: justify;"><br />
</div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt; text-align: justify;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;">1) <span style="mso-bidi-font-weight: bold;">Permutar</span> dos ecuaciones.</span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt; text-align: justify;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;">2)<span style="mso-bidi-font-weight: bold;"> <span style="mso-bidi-font-style: italic;">Multiplicar</span></span><span style="mso-bidi-font-style: italic;"> una ecuación del sistema por un número distinto de 0.</span></span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt; text-align: justify;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;">3) <span style="mso-bidi-font-weight: bold;">Sumar a una ecuación del sistema otra multiplicada por un número.</span></span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt; text-align: justify;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;">4) <span style="mso-bidi-font-style: italic;">Cambiar el orden de las incógnitas.</span></span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt; text-align: justify;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;">5)<span style="mso-bidi-font-weight: bold;"> Despejar</span><span style="mso-bidi-font-style: italic;"> una incógnita en una ecuación y </span><span style="mso-bidi-font-weight: bold;">sustituirla</span><span style="mso-bidi-font-style: italic;"> en las demás ecuaciones</span>.</span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt; text-align: justify;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;">6) <span style="mso-bidi-font-weight: bold;">Suprimir o añadir </span>una ecuación que sea <span style="mso-bidi-font-style: italic; mso-bidi-font-weight: bold;">combinación lineal </span>de las otras.</span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt; text-align: justify;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;">La demostración es inmediata en todos los casos.</span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt; mso-outline-level: 2; text-align: justify;"><br />
</div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt; mso-outline-level: 2; text-align: justify;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;"><b><i><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;">Método de Gauss</span></i></b><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"></span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt; text-align: justify;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;">El <b>método de </b>Gauss para la resolución de sistemas lineales se puede considerar como un generalización del de<i> reducción</i> (para los sistemas con dos incógnitas). En esencia consiste en hacer, al sistema de ecuaciones lineales, determinadas transformaciones elementales a fin de obtener un sistema <span style="mso-bidi-font-weight: bold;">escalonado</span>, más fácil de resolver.</span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt; text-align: justify;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;">. </span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt; text-align: justify;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;"><b><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;">Ejemplo</span></b><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;">. Resuelve el sistema </span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt; text-align: justify;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;">Multiplicamos la 1ª ecuación por 2 y se la restamos a la segunda:</span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt; text-align: justify;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;">Permutamos las ecuaciones 2ª y 3ª:</span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt; text-align: justify;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;">Multiplicamos la 1ª ecuación por 5 y se la sumamos a la 2ª:</span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt; text-align: justify;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;"> <span style="mso-text-raise: -25.0pt; position: relative; top: 25pt;"> </span></span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt; text-align: justify;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;">que es un sistema escalonado.</span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt; text-align: justify;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;">Hasta aquí es el método de Gauss, ya se ha conseguido un sistema <span style="mso-bidi-font-weight: bold;">escalonado</span> ahora para resolverlo se procede (de abajo arriba):</span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt; text-align: justify;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-bidi-font-weight: bold; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;">z = -11</span><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;">, de donde </span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt; text-align: justify;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;">4x = -46 -14(-11) → <span style="mso-bidi-font-weight: bold;">x =27</span>, la y la obtenemos sustituyendo estos dos valores en la ecuación 1ª ; </span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt; text-align: justify;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;"> y =-9-54+33, <span style="mso-bidi-font-weight: bold;">y =-30. </span></span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt; text-align: justify;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;">La solución es: <span style="mso-bidi-font-weight: bold;">(27,-30,-11)</span></span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt;"><br />
</div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt;"><br />
</div><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt; text-align: center;"><b><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; font-size: 20pt; mso-bidi-font-style: italic; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;">Forma matricial del método de Gauss</span></span></span></b></div><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt; text-align: center;"><br />
</div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt;"><br />
</div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;">Resuelve el sistema </span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;">ordenamos el<sub> </sub>sistema<span style="mso-text-raise: -25.0pt; position: relative; top: 25pt;"> </span></span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;">Se consideran solo los coeficientes colocándolos en forma de matriz así y se trata de conseguir que todos los elementos por debajo de la diagonal principal sean cero </span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>F2 – F3<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>F3 – 2F1<span style="mso-text-raise: -25.0pt; position: relative; top: 25pt;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>- F3 + 2F2 </span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;">El sistema que nos queda ahora es escalonado y de más fácil resolución:</span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt;"><br />
</div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt; mso-layout-grid-align: none;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;"><b><i><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;">Regla de Cramer</span></i></b><i><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;">.</span></i><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"></span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt; mso-layout-grid-align: none;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;"><b><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;">Definición. </span></b><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;">Un sistema con n ecuaciones lineales y n incógnitas se dice que es de Cramer, cuando el determinante de la matriz de los coeficientes es ≠0.</span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt; mso-layout-grid-align: none;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;"><b><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;">Consecuencia. </span></b><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;">Todo sistema de Cramer es compatible determinado.</span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt; mso-layout-grid-align: none;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;">.</span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt; mso-layout-grid-align: none;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;"><i><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;">Regla de Cramer</span></i><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"></span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 18pt; mso-layout-grid-align: none;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;">Veamos la expresión de las soluciones en el caso de n = 3.</span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt; mso-layout-grid-align: none;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;">La inversa vimos que es:<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>de donde: , análogamente<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>,que constituye la llamada regla de Cramer. Ejemplo: Resuelve, usando la regla de Cramer, el sistema:</span></span></span></div><div class="MsoListParagraph" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt 36pt; mso-add-space: auto; mso-layout-grid-align: none;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;">Solución: luego es de Cramer</span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 10pt;"><br />
</div><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt; text-align: center;"><b><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; font-size: 20pt; mso-bidi-font-style: italic; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;">Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas</span></span></span></b></div><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt; text-align: center;"><br />
</div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt;"><br />
</div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;">A)<i> </i><span style="mso-bidi-font-style: italic;">Sistemas de 2 ecuaciones con 3 incógnitas</span>. </span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;">La resolución del sistema: <span style="mso-text-raise: -15.0pt; position: relative; top: 15pt;"> </span> en <b>términos geométricos</b> es el estudio de las posiciones relativas de dos planos.</span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;">Casos que se presentan:</span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;"><b><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;">Planos paralelos. </span></b><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;">Sin puntos comunes, cuando el sistema sea incompatible.</span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;"><b><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;">Planos que se cortan</span></b><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"> en una recta. Si el sistema es compatible pero indeterminado, con un grado de libertad. </span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;"><b><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;">Planos coincidentes.</span></b><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"> Ocurre<b> </b>este caso cuando las dos ecuaciones son equivalentes y el sistema es compatible indeterminado con dos grados<b> </b>de libertad</span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt;"><br />
</div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;">B)<i> Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas:</i></span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt;"><br />
</div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;">Cada ecuación representa un plano en el espacio tridimensional. Luego se trata de estudiar la posición relativa de tres planos en el espacio. Las soluciones del sistema son <i>geométricamente </i>los puntos de intersección de los tres planos, los casos son:</span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;"><b><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;">Un punto único.</span></b><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"> Sistema compatible determinado. Los tres planos se cortan en <b>un punto.</b></span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;"><b><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;">Una recta.</span></b><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"> Son soluciones todos los puntos representativos de la recta común. Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad.</span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt;"><br />
</div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;">Los planos se cortan en una<span style="mso-spacerun: yes;"> </span><b>recta.</b></span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt;"><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;"> <b>Un plano.</b> Los planos son coincidentes. El sistema es compatible indeterminado con dos grados de libertad.</span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 6pt 0cm 0pt;"><span style="color: blue;"><span style="background-color: #f3f3f3;"><b><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;">Ningún punto.</span></b><span style="font-family: "Times New Roman", "serif"; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-language: ES;"> El sistema es incompatible. Esta situación se presenta geométricamente de distintas maneras. Para estudiar las posiciones relativas de los planos hay que tomarlos de dos en dos.</span></span></span></div><div class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 10pt;"><br />
</div>Sergio Cesarhttp://www.blogger.com/profile/16146547648431278464noreply@blogger.com0