miércoles, 10 de noviembre de 2010

Ecuaciones con 3 variables

Ecuaciones con 3 incógnitas

Dado un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, a él están asociadas dos matrices: A matriz de coeficientes y A* matriz ampliada (se le añade a la matriz de coeficientes la columna de términos independientes).

Para resolver el sistema hay varios métodos.
  • Método de Gauss: Tomamos las matriz ampliada asociada al sistema y hacemos las trasformaciones de filas necesarias para hacer la matriz de coeficientes triangular, a partir de ahí deducimos los valores de las variables.
  • Matríz inversa: Si expresamos el sistema en forma matricial AX=B y A es inversible entonces donde X es la matriz de variables A la de coeficientes y B la de términos independientes. Condición necesaria es que exista la inversa de A
  • Regla de Cramer:El valor de la variable i-ésima se obtiene del cociente C/D, donde C es el determinante de la matriz de coeficientes donde se cambia la columna i-ésima por la columna de términos independientes y D es el determinante de la matriz de coeficientes.
Ecuación de primer grado con 3 incógnitas
·         Me pueden explicar el procedimiento para sacar los valores x, y, z para que me de el resultado de cualquiera de las siguientes ecuaciones...

3x-2y+3z=16
x+3y-6z= -23
5x+4y-2z= -9
toma la segunda ecuación, y has el despeje de tal forma que halla igualdad para x, te quedará así:


x=-23-3y+6z

Ahora, toma otra ecuación distinta a la del despeje...
tomaré en este caso 3x-2y+3z=16 (por ser más sencilla que la última) y sustituyes x, el despeje de arriba...

será...

3(Aquí va X)-2y+3z=16
3(-23-3y+6z)-2y+3z=16
-69-9y+18z-2y+3z=16
-11y+21z=85

y tomamos la última (recuerda que tiene que ser distinta a la que tomaste como inicial para el despeje)

5(-23-3y+6z)+4y-2z=-9
-115-15y+30z+4y-2z=-9
-11y+28z=106

Ahora fijamos los dos resultados:

-11y+21z=85
-11y+28z=106
___________

multiplica por -1 el segundo y por 1 la primera...

-11y+21z=85
11y-28z=-106
___________
-7z=-21
z=-21/-7=3
z=3 <--- primer valor


Ahora con las mismas dos ecuaciones anteriores encontraremos el valor de Y sustituyendo ya el valor de z obtenido... toma una, en este caso escogeré la primera...

-11y+21(3)=85
-11y+63=85
-11y=85-63
y=22/-11
y=-2 <--- otro valor


Ahora, vamonos desde la primera ecuacion que tomaste para despejar X y sustituyes los dos valores obtenidos...

x+3(-2)-6(3)=-23
x-6-18=-23
x=-23+6+18
x=1 <--- tercer valor.

Ya tienes los valores ahora si hay que comprobar si estan bien, acuerdate de siempre comprobar. OJO

Cómo vas a comprobar?

De las 3 ecuaciones que estan en tu pregunta sustituyes los valores de x,y,z

Sistemas de ecuaciones con tres (o más) incógnitas

 Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones.
El método general de resolver sistemas de ecuaciones consiste en encontrar otro sistema equivalente de más fácil resolución.
Definición.  Se llaman transformaciones elementales (o de equivalencia) a aquellas modificaciones de un sistema lineal que lo transforman en otro equivalente.
Las siguientes transformaciones son elementales.

1) Permutar dos ecuaciones.
2) Multiplicar una ecuación del sistema por un número distinto de 0.
3) Sumar a una ecuación del sistema otra multiplicada por un número.
4) Cambiar el orden de las incógnitas.
5) Despejar una incógnita en una ecuación y sustituirla en las demás ecuaciones.
6) Suprimir o añadir una ecuación que sea combinación lineal de las otras.
La demostración es inmediata en todos los casos.

Método de Gauss
El método de Gauss para la resolución de sistemas lineales se puede considerar como un generalización del de reducción (para los sistemas con dos incógnitas). En esencia consiste  en hacer, al sistema de ecuaciones lineales, determinadas transformaciones elementales a fin de obtener un sistema escalonado, más fácil de resolver.
.
Ejemplo. Resuelve el sistema
Multiplicamos la 1ª ecuación por 2 y se la restamos a la segunda:
Permutamos las ecuaciones 2ª y 3ª:
Multiplicamos la 1ª ecuación por 5 y se la sumamos a la 2ª:
 
que es un sistema escalonado.
Hasta aquí es el método de Gauss, ya se ha conseguido un sistema escalonado ahora para resolverlo se procede (de abajo arriba):
z = -11, de donde 
4x = -46 -14(-11) → x =27, la y la obtenemos sustituyendo estos dos valores en la ecuación 1ª ;
 y =-9-54+33, y =-30.
La solución es:        (27,-30,-11)


Forma matricial del método de Gauss


Resuelve el sistema
ordenamos el sistema
Se consideran solo los coeficientes colocándolos en forma de matriz así  y se trata de conseguir que todos los elementos por debajo de la diagonal principal sean cero
  F2 – F3  F3 – 2F1   - F3 + 2F2
El sistema que nos queda ahora es escalonado y de más fácil resolución:

Regla de Cramer.
Definición. Un sistema con n ecuaciones lineales y n incógnitas se dice que es de Cramer, cuando el determinante de la matriz de los coeficientes es ≠0.
Consecuencia. Todo sistema de Cramer es compatible determinado.
.
Regla de Cramer
Veamos la expresión de las soluciones en el caso de n = 3.
La inversa vimos que es:  de donde: , análogamente  ,que constituye la llamada regla de Cramer.  Ejemplo: Resuelve, usando la regla de Cramer, el sistema:
Solución: luego es de Cramer

Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas


A) Sistemas de 2 ecuaciones con 3 incógnitas.
La resolución del sistema:    en términos geométricos es el estudio de las posiciones relativas de dos planos.
Casos que se presentan:
Planos paralelos.  Sin puntos comunes, cuando el sistema sea incompatible.
Planos que se cortan en una recta. Si el  sistema es compatible pero indeterminado, con un grado de libertad.
Planos coincidentes. Ocurre este caso cuando las dos ecuaciones son equivalentes y el sistema es compatible indeterminado con dos grados de libertad

B) Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas:

Cada ecuación representa un plano en el espacio tridimensional. Luego se trata de estudiar la posición relativa de tres planos en el espacio. Las soluciones del sistema son geométricamente los puntos de intersección de los tres planos, los casos son:
Un punto único.  Sistema  compatible determinado. Los tres planos se cortan en un punto.
Una recta. Son soluciones todos los puntos representativos de la recta común. Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad.

Los planos se cortan en una  recta.
 Un plano. Los planos son coincidentes. El sistema es compatible indeterminado con dos grados de libertad.
Ningún punto. El sistema es incompatible. Esta situación se presenta geométricamente de distintas maneras. Para estudiar las posiciones relativas de los planos hay que tomarlos de dos en dos.